Question

12．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是三个向量，以下命题正确的有（　　）
①$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$
②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$；
③若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$互不共线，则（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）
④（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，即有$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，即可判断①；由向量垂直的条件，可判断②；
运用向量共线定理，结合向量的数量积为数量，即可判断③；运用向量的平方即为模的平方，即可判断④．

解答 解：对于①，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，即有$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则有$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$），即有①错误；
对于②，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不一定为零向量，即有②错误；
对于③，若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$互不共线，则（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{c}$共线，$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）与$\overrightarrow{a}$共线，即有③错误；
对于④，由（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-4${\overrightarrow{b}}^{2}$=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²，即有④正确．
综上可得，正确的个数为1．
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量垂直和共线的条件，以及向量的平方即为模的平方，属于基础题和易错题．