Question

16．如图，在三棱锥S-ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）若SA=SC，BD⊥平面SAC，求证：平面SBD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理证明EF∥AC，继而EF∥平面ABC；
（2）由BD⊥平面SAC得BD⊥SD，由等腰三角形三线合一得SD⊥AC，故SD⊥平面ABC，得出平面SBD⊥平面ABC．

解答 证明：（1）∵E、F分别为棱SA、SC的中点，
∴EF∥AC，又∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
（2）∵SA=SC，D是AC中点，
∴SD⊥AC，
∵BD⊥平面SAC，SD?平面SAC，
∴SD⊥BD，又AC?平面ABC，BD?平面ABC，AC∩BD=D，
∴SD⊥平面ABC，∵SD?平面SBD，
∴平面SBD⊥平面ABC．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题．