Question

5．设x³+ax+b=0，其中a，b均为实数．下列条件中不能使得该三次方程仅有一个实根的是（　　）

• A． a=-3，b=～3
• B． a=0，b=2
• C． a=-3，b=2
• D． a=1 b=2

Answer 1

分析 将选项依次代入，从而化简求导以确定函数的单调性及极值，从而解得．

解答 解：对于A，当a=-3，b=-3时，
令f（x）=x³-3x-3，
则f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
而f（-1）=-1，f（1）=-5，
故x³+ax+b=0有且仅有一个根；
对于B，当a=0，b=2时，
令f（x）=x³+2，
则f′（x）=3x²≥0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
故x³+ax+b=0有且仅有一个根；
对于C，当a=-3，b=2时，
令f（x）=x³-3x+2，
则f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
而f（-1）=6，f（1）=0，
故x³+ax+b=0有且仅有两个根；
对于D，当a=1，b=2时，
令f（x）=x³+x+2，
则f′（x）=3x²+1≥1，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
故x³+ax+b=0有且仅有一个根；
故选：C．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及导数的综合应用．