Question

数列{a_n}定义如下：a₁=1，a₂=2，a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，n=1，2，…，若a_m＞2+

2011

2012

，则正整数m的最小值为（　　）

• A、4025
• B、4250
• C、3650
• D、4425

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列的递推关系，构造等差数列，求出数列的通项公式，解不等式即可得到结论．

解答： 解：∵a_n+2=

2(n+1)

n+2

a_n+1-

n

n+2

a_n，
∴（n+2）a_n+2=2（n+1）a_n+1-na_n，
即（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
即数列{（n+1）a_n+1-na_n}是常数列，当n=1时（n+1）a_n+1-na_n=2a₂-a₁=2×2-1=3，
即（n+1）a_n+1-na_n=3，
即数列{na_n}是公差d=3的等差数列，首项为1a₁=1，
则na_n=1+3（n-1）=3n-2，
则a_n=

3n-2

n

=3-

2

n

，
若a_m＞2+

2011

2012

，
则3-

2

m

＞2+

2011

2012

，
即

2

m

＜

1

2012

，
则m＞4024，
∵m是整数，
∴m≥4025，
故正整数m的最小值为4025，
故选：A

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据条件构造等差数列，求出通项公式是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强，