Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，g（x）=x²+2mx+$\frac{5}{3}$
（1）用定义法证明f（x）在R上是增函数；
（2）求出所有满足不等式f（2a-a²）+f（3）＞0的实数a构成的集合；
（3）对任意的实数x₁∈[-1，1]，都存在一个实数x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x₁、x₂是R上任意两个值，且x₁＜x₂，求得∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）在R上是增函数．
（2）先证明f（x）为奇函数，不等式即f（3）＞-f（2a-a²）=f（a²-2a），再利用f（x）在R上是增函数 可得a²-2a＜3，由此求得a的范围．
（3）利用f（x）的单调性求得A，设g（x）在[-1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B，分类讨论求得B，从而求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）证明：f（x）的定义域为R，设x₁、x₂是R上任意两个值，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-（1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}＞0$，${2^{x_2}}＞0$，${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{\frac{1}{2^x}-1}}{{\frac{1}{2^x}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=-f（x）$，∴f（x）在R上是奇函数，
∵f（2a-a²）+f（3）＞0，∴f（3）＞-f（2a-a²）=f（a²-2a），
又∵f（x）在R上是增函数，∴a²-2a＜3，
解得-1＜a＜3，∴所求实数a构成的集合为 {a|-1＜a＜3}．
（3）∵f（x）在R上是增函数，∴当x₁∈[-1，1]时，f（x₁）∈[f（-1），f（1）]，即$f（{x_1}）∈[-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}]=A$．
设g（x）在[-1，1]上的值域为B，则由题意可知A⊆B．
∵$g（x）={（x+m）^2}+\frac{5}{3}-{m^2}$，∴$\frac{5}{3}-{m^2}≤-\frac{1}{3}$，解得 $m≤-\sqrt{2}$或$m≥\sqrt{2}$，
①当$m≤-\sqrt{2}$时，函数g（x）在[-1，1]上为减函数，所以$B=[g（1），g（-1）]=[\frac{8}{3}+2m，\frac{8}{3}-2m]$；
由A⊆B得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{8}{3}+2m≤-\frac{1}{3}\\ \frac{8}{3}-2m≥\frac{1}{3}\\ m≤-\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得 $m≤-\frac{3}{2}$．
②当$m≥\sqrt{2}$时，函数g（x）在[-1，1]上为增函数，所以$B=[g（-1），g（1）]=[\frac{8}{3}-2m，\frac{8}{3}+2m]$，
由A⊆B得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{8}{3}-2m≤-\frac{1}{3}\\ \frac{8}{3}+2m≥\frac{1}{3}\\ m≥\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得$m≥\frac{3}{2}$．
综上可知，实数m的取值范围为$m≤-\frac{3}{2}$或$m≥\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，集合间的包含关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．