Question

7．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x²+（y+1）²=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ） 由直线与圆相切可得$\frac{{|{t+1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1⇒{k^2}={t^2}+2t$，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及∠MON为直角则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求得t=4，运用弦长公式求得|MN|，求得点O到直线的距离，从而求得△OMN的面积．

解答 解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，
由已知得：2²=2p所以p=2，
所以抛物线的标准方程为x²=4y；
（Ⅱ）因为直线与圆相切，
所以$\frac{{|{t+1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1⇒{k^2}={t^2}+2t$，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0，
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0得 t＞0或t＜-3，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k且x₁•x₂=-4t，
${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+t）•（k{x_2}+t）={k^2}{x_1}{x_2}+kt（{x_1}+{x_2}）+{t^2}={t^2}$
∵∠MON为直角∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，解得t=4或t=0（舍去），
∵$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=4\sqrt{（1+{k^2}）（{{t^2}+3t}）}$，
点O到直线的距离为$\frac{|t|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△mon}}=2\sqrt{{t^4}+3{t^3}}$=$16\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．