Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求指数函数的解析式．（2）利用函数f（x）是奇函数，得到f（0）=0，然后建立方程求解m，n即可．
（3）利用指数函数的单调性以及函数f（x）的奇偶性，将不等式进行转化，解不等式即可．

解答：解：（1）设y=g（x）=a^x，
∵g（2）=4，∴a²=4，解得a=2，
∴g（x）=2^x．
（2）由（1）知：f（x）=

-2x+n

2x+1+m

，
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
即

m-1

2+m

=0，解得m=1．
∴f（x）=

1-2x

2x+1+m

，
又由f（1）=-f（-1）知

1-2

4+m

=-

1- 1 2

m+1

，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，

1

2x+1

为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜-

1

3

，
∴不等式的解集为（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数性质的综合应用，考查学生的运算和推理能力．