Question

（14分）已知在数列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函数f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一个极值点（Ⅰ）求数列｛a_n｝的通项公式
（Ⅱ）当时，令，数列前项的和为，求证：
（Ⅲ）设，数列前项的和为，求同时满足下列两个条件的的值：（1） （2）对于任意的，均存在，当时，

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

：（Ⅰ）由题意得：f′()="0 " 即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)      则当t≠1时，数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项          t为公比的等比数列  ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1 由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)         =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)· =tⁿ此式对t=1也成立∴a_n=tⁿ (n∈N)
（Ⅱ）    
（Ⅲ） （1）当 时，由Ⅱ得

取，当时，
（2）当时，，所以
 
取因为，不存在，使得当时，
（3）当时，，
，由（1）可知存在，当时
，故存在，当时，

综上，