Question

已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；

（3）当时，证明: 对一切，都有成立．

 

Answer 1

详见解析

【解析】

试题分析：（1）首先利用导数公式求出,然后讨论是奇数还是偶数，化简函数，然后再定义域内求导数大于0或是导数小于0的解集，确定单调区间；

（2）将唯一解问题转化为在定义域内和x轴有唯一交点问题，求在定义域内，导数为0的值有一个，分析函数是先减后增，所以如果有一个交点，那么函数在定义域内的极小值等于0，即可；

（3）转化为左边函数的最小值大于有边函数的最大值，要对两边函数求导，利用导数求函数的最值.

试题解析：【解析】
（1）由已知得x＞0且．

当k是奇数时，，则f(x)在(0,+)上是增函数;

当k是偶数时，则．

所以当x时，，当x时，．

故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数． 4分

（2）若，则．

记 ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 令,得．因为，所以（舍去），． 当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数．

当x=x2时, ，． 因为有唯一解，所以．

则 即 设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得 10分

另解:即有唯一解,所以:,令,则,设，显然是增函数且，所以当时，当时，于是时有唯一的最小值，所以，综上：．

（3）当时， 问题等价证明

由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易得，当且仅当 时取到，

从而对一切，都有成立．故命题成立． 16分

考点：1.数列的递推公式；2.数学归纳法.