Question

设△ABC三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，且a+c=8，则△ABC面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，利用比例的基本性质可得

a2+c2-b2

2a2

=

c

2a

，化为a²+c²-b²=ac，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：∵

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，∴

a2+c2-b2

2a2

=

c

2a

，化为a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
∵a+c=8，∴8≥2

ac

，化为ac≤16，当且仅当a=c=4时取等号．
则△ABC面积S=

1

2

acsinB≤

1

2

×16×sin

π

3

=4

3

，
故答案为：4

3

．

点评：本题考查了比例的基本性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．