Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AB∥CD，结合AB?平面PCD，CD?平面PCD，AB∥平面PCD，又由AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，即可证明EF∥AB．
（Ⅱ）易证BD⊥AC，设AC交BD于点O，连接PO，由等腰三角形的性质可得PO⊥BD，从而可得BD⊥平面PAC．

解答 （本小题12分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，
∴AB∥CD，------------------（2分）
又AB?平面PCD，CD?平面PCD，------------------（3分）
∴AB∥平面PCD，------------------（4分）
又∵AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，-----------（5分）
∴EF∥AB．------------------（6分）
（Ⅱ）∵底面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，------------------（8分）
设AC交BD于点O，连接PO，
∵PB=PD，O为BD的中点，
∴PO⊥BD，------------------（10分）
∵AC∩PO=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，-----------（11分）
∴BD⊥平面PAC．------------------（12分）

点评 本题主要考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．