Question

5．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆M上存在点P，满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知椭圆M的一个焦点F（1，0），e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出椭圆M的方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、向量、椭圆性质能求出m的值．

解答 解：（1）∵椭圆M的对称轴为坐标轴，抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，且椭圆M的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆M的一个焦点F（1，0），
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=（4m）²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0，
解得-$\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂），
∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}m$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2}{3}m$，
∴P（-$\frac{4}{3}m，\frac{2}{3}m$）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1上，
∴（-$\frac{4}{3}m$）²+2（$\frac{2}{3}m$）²=2，
解得m=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量知识、直线方程、抛物线等知识点的合理运用．