Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=1，则下列结论中正确的有

 

．（填写你认为正确的序号）
①AC⊥面BEF；
②AF与BE相交；
③若P为AA₁上的一动点，则三棱锥P-BEF的体积为定值；
④在空间与直线DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线只有1条．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：连接BD，交AC于O，由线面垂直的性质定理和判定定理，即可判断①；
由两异面直线的判定方法，即可得到AF与BE为异面直线，进而判断②；
运用棱锥的体积公式，由于EF=1，矩形BDD₁B₁内B到EF的距离为1，则三角形BEF的面积为

1

2

，再由P在棱AA₁上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD₁B₁的距离，即可得到体积，从而判断③；
由于平面BDD₁B₁与直线DD₁，AC，B₁C₁都有交点，则所求直线在平面BDD₁B₁，由于平面BDD₁B₁与直线AC交于O，与直线C₁B₁交于B₁，即可判断④．

解答： 解：对于①，连接BD，交AC于O，则AC⊥BD，又BB₁⊥平面ABCD，则AC⊥BB₁，
则有AC⊥平面BDD₁B₁，即AC⊥面BEF，故①对；
对于②，由于BE是平面BDD₁B₁内一直线，F不在直线BE上，且F在平面BDD₁B₁内，
点A不在平面BDD₁B₁内，由异面直线的判定可得，AF与BE为异面直线，故②错；
对于③，三棱锥P-BEF的体积为

1

3

S_△BEF•h，由于EF=1，矩形BDD₁B₁内B到EF的距离为1，则三角形BEF的面积为

1

2

，由于P在棱AA₁上，P到平面BEF的距离，即为A到平面BDD₁B₁的距离，由于AC⊥平面BDD₁B₁，则h=AO=

2

2

，则三棱锥P-BEF的体积为

2

12

，故③对；
对于④，由于平面BDD₁B₁与直线DD₁，AC，B₁C₁都有交点，
则所求直线在平面BDD₁B₁，由于平面BDD₁B₁与直线AC交于O，与直线C₁B₁交于B₁，
连接OB₁，延长与D₁D延长交于Q，即为所求直线，故④对．
故答案为：①③④

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质，两直线的位置关系，考查三棱锥体积的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题和易错题．