Question

已知数列{x_n}满足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0）则数列{x_n}的前2010项的和S₂₀₁₀为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由x_n+3=x_n，判断数列是周期数列，得到周期为3，求出一个周期的数值的和，然后求解数列{x_n}的前2010项的和S₂₀₁₀．

解答： 解：因为数列{x_n}满足x_n+3=x_n，x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），
若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），
所以x₃=|a-1|=1-a，x₄=x₁=1，
所以数列是以3为周期的周期数列，
并且x₁+x₂+x₃=1+1-a+a=2，
所以S₂₀₁₀=x₁+x₂+x₃+…+x_n=670（x₁+x₂+x₃）=1340．
故答案为：1340

点评：本题主要考查数列的求和，根据条件利用数列的周期性是解决本题的关键，注意一个周期的数值的和，考查计算能力．