Question

9．设函数f（x）=-4^x+2^x+1-1，g（x）=lg（ax²-4x+1），若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，4]
• B． （-∞，4]
• C． （-4，0]
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 由题意求出f（x）的值域，再把对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式组求解．

解答 解：∵f（x）=-4^x+2^x+1-1=-（2^x）²+2×2^x-1=-（2^x-1）²≤-1，
∴?x₁∈R，f（x）=-4^x+2^x+1-1∈（-∞，-1]，
∵?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域包含（-∞，-1]，
当a=0时，g（x）=lg（-4x+1），不成立；
当a≠0时，要使g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域包含（-∞，-1]，
则ax²-4x+1≥0的解集是R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4a≤0}\end{array}\right.$，解得a≥4．
∴实数a的取值范围是[4，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．