Question

已知函数f（x）=

3

cos（ωx-

π

2

）+cos（ωx+π）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π．
（1）求f（x）的表达式；（要写出推导过程）
（2）若B是直角三角形ABC的内角，求f（B）的值域．

Answer 1

分析：（1）我们可以利用诱导公式，化简函数解析式为正弦型函数的形式，再由已知中函数f(x)=3cos(ωx-

π

2

)+cos(ωx+π)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π，我们可以求出函数的周期，进而确定ω值，进而得到f（x）的表达式
（2）由B是直角三角形ABC的内角，则0＜B≤

π

2

，根据（1）中函数的解析式和正弦型函数的图象和性质，易得到f（B）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos(ωx-

π

2

)+cos(ωx+π)=

3

sinωx-cosωx------（2分）
（每个诱导公式1分）
=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)----------（3分）
=2sin(ωx-

π

6

)----------（4分）
由条件有

1

2

T=π，∴T=2π，----------（5分）
∴

2π

ω

=2π，∴ω=1----------（6分）
∴f(x)=2sin(x-

π

6

)----------（7分）
（2）由条件0＜B≤

π

2

（3）----------（1分）
∴-

π

6

＜B-

π

6

≤

π

2

-

π

6

=

π

3

----------（2分）
∴-

1

2

＜sin(B-

π

6

)≤

3

2

----------（3分）
∴-1＜f(B)≤

3

----------（4分）
∴f（B）的值域是(-1，

3

]．----------（5分）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知条件利用诱导公式，正弦函数的周期性求出函数的解析式是解答本题的关键．