Question

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.

 

 

Answer 1

见解析

【解析】证明：方法一：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥BC于N，连接MN，如图所示，则EM∥BB1，FN∥BB1，

∴EM∥FN.

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，

∴AE＝BF，

∴＝，

＝＝，

∴＝.

又∵BB1＝CC1，∴EM＝FN，

∴四边形EMNF是平行四边形，

∴EF∥MN.

又∵EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD.

方法二：过点E作EH⊥BB1于点H，连接FH，如图所示，则EH∥AB，所以＝.

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，

∴＝，

∴＝，

∴FH∥B1C1.

∵B1C1∥BC，∴FH∥BC.

∵EH∩FH＝H，

∴平面EFH∥平面ABCD.

∵EF?平面EFH，

∴EF∥平面ABCD.