Question

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

(1)·；

(2)·；

(3)EG的长；

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

 

Answer 1

（1） （2）－ （3） （4）

【解析】【解析】
设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.

＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，

(1)·＝(c－a)·(－a)

＝a2－a·c＝；

(2)·＝ (c－a)·(b－c)

＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；

(3)＝＋＋

＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.

即||＝，

所以EG的长为.

(4)设、的夹角为θ.

＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cosθ＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.