Question

12．已知a≥0，函数f （x）=（x²-2ax）e^x，若f （x）在[-1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{3}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数在[-1，1]上小于等于0恒成立可得x²+2（1-a）x-2a≤0对x∈[-1，1]恒成立．转化为关于a的不等式组求解．

解答 解：由f （x）=（x²-2ax）e^x，得f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=e^x（x²-2ax+2x-2a）．
∵f （x）在[-1，1]上是单调减函数，
∴f′（x）=e^x（x²-2ax+2x-2a）≤0对x∈[-1，1]恒成立．
即x²+2（1-a）x-2a≤0对x∈[-1，1]恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-2（1-a）-2a≤0}\\{{1}^{2}+2（1-a）-2a≤0}\end{array}\right.$，解得a$≥\frac{3}{4}$．
∴a的取值范围是[$\frac{3}{4}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．