Question

12．设函数f（x）=|x+1|+x-m的最小值是-3．
（1）求m的值；
（2）若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，是否存在正实数a，b满足$（a+1）（b+1）=\frac{7}{2}$？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简函数为分段函数，利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解m即可．
（2）利用$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，转化推出ab的范围，化简$（a+1）（b+1）=\frac{7}{2}$，推出ab的范围，即可得到结果．

解答 解：（1）因为$f（x）=|{x+1}|+x-m=\left\{\begin{array}{l}2x+1-m，x≥-1\\-1-m，x＜-1\end{array}\right.$，x≥-1时，函数是增函数，
所以y_min=-1-m=-3⇒m=2．
（2）∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，∴$a+b=2ab≥2\sqrt{ab}⇒ab≥1$，
∵$（a+1）（b+1）=a+b+ab+1=3ab+1=\frac{7}{2}$，
∴$ab=\frac{5}{6}＜1$，矛盾．
所以不存在正实数a，b满足条件．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力．