Question

如图所示，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点A₁、A₂、B₁、B₂，F为右焦点，直线A₁B₂与B₁F交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为OT的中点，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线A₁B₂的方程为

x

-a

+

y

b

=1，直线B₁F的方程为

x

c

+

y

-b

=1，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值．

解答： 解：由题意，可得直线A₁B₂的方程为

x

-a

+

y

b

=1，直线B₁F的方程为

x

c

+

y

-b

=1
两直线联立则点T（

2ac

a-c

，

b(a+c)

a-c

），则M（

ac

a-c

，

b(a+c)

2(a-c)

），
由于此点在椭圆上，故有

c2

(a-c)2

+

(a+c)2

4(a-c)2

=1，
整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得e=2

7

-5
故答案为：2

7

-5．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，比较基础．