Question

已知函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-6），点A（1，0），B（2，0），C（6，0），过点C作曲线y=f（x）的切线，切点为D（D与C不重合），则下列命题中正确的是

 

．（写出所有正确命题的序号）
①方程f（x）′=0的两根分别位于区间（1，2）和（2，6）内；
②点D在x轴的射影为线段AB的中点；
③函数y=f（x）的图象关于点（3，-6）对称；
④函数y=f（x）在点D处取得极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：根据函数f（x）的取值情况可以画出函数f（x）的大致；图象，①通过图象可以看出函数f（x）的极值点的分布情况，所以能判断①正确；
②根据过点C的直线方程与曲线y=f（x）有两个二重根可求得D点的横坐标，从而能判断②的正误；
③求出函数y=f（x）的图象关于点（3，-6）对称的图象的解析式，即可判断③的正误．
④通过前面知道函数y=f（x）在D点的导数不为0，所以在D处取不到极大值，所以④错误．
这样便可找出正确的命题．

解答： 解：根据f（x）的取值情况：x＜1时，f（x）＜0；1＜x＜2时，f（x）＞0；2＜x＜6时，f（x）＜0；x＞6时，f（x）＞0．画出f（x）的图象．
①通过通过图象可以看出，f（x）在（1，2）和（2，6）上存在极值，∴方程f（x）′=0的两根分别位于区间（1，2）和（2，6）内；
②设过点C的f（x）的切线方程为：y=k（x-6），解

y=k(x-6) y=(x-1)(x-2)(x-6)

得：x²-3x+2-k=0     （1），该方程的二重根便是切点D的横坐标，∴△=9-2（4-k）=1+4k=0，∴k=-

1

4

；
∴带入方程（1）并解得：x1=x2=

3

2

，∴点D在x轴的射影为线段AB的中点．
③设（x₀，y₀）为函数y=f（x）的图象上的任一点，它关于（3，-6）的对称点为（x，y），则：

x0+x 2 =3 y0+y 2 =-6

，解得：

x0=6-x y0=-12-y

，带入y=f（x）的解析式并化简得：
x³-9x²+20x+12=y，这便是函数y=f（x）的解析式；
∴函数y=f（x）的图象关于点（3，-6）对称．
④∵函数y=f（x）在点D处的导数为-

1

4

≠0，∴函数y=f（x）在点D处取不到极大值．
∴正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评：考查函数的极值和函数在极值点处导数的关系；切线2反应在方程上，就是直线方程和曲线方程形成的方程组有二重根，判别式△=0；切线斜率和函数在切点处导数的关系，求解本题的关键是根据函数解析式画出它的大致图象．