Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（5$\sqrt{3}$cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²+$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，若f（x）=8，求函数f（x+$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，由f（x）=8求得 sin（2x+$\frac{π}{6}$）的值，可得cos（2x+$\frac{π}{6}$）的值，再根据f（x+$\frac{π}{8}$）=5sin[（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]+5，利用两角和的正弦公式计算求的结果．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²+$\frac{3}{2}$=5$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+1+3cos²x+$\frac{3}{2}$
=5$\sqrt{3}$sinxcosx+5cos²x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$sin2x=5•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{5}{2}$=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5，
 当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为 $\frac{5}{2}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值为 10．
（Ⅱ）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，∵f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）+5=8，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$，
故f（x+$\frac{π}{8}$）=5sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）+5=5sin[（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]+5=5sin（2x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{4}$+5cos（2x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{4}$+5
=5×$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=5×（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+5=5-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．