Question

【题目】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为（ ）

A.4037B.4038C.4027D.4028

Answer 1

【答案】A

【解析】

由，对任意的实数，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差数列的定义求得结果．

∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）f（y）＝f（x+y）恒成立，

∴令x＝﹣1，y＝0，则f（﹣1）f（0）＝f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，

则f（0）＝1，则f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等价为f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），

即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），则an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.

∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，首项a1＝f（0）＝1，

∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.

故选：A