Question

7．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\sqrt{3}a=2csinA$．
（1）求角C；
（2）若c=7，且△ABC的面积为$10\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求解即可．
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．

解答 解：（1）由$\sqrt{3}a=2csinA$和$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$得，$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（3分）
因为$0＜C＜\frac{π}{2}$，所以$C=\frac{π}{3}$…（5分）
（2）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²得，a²+b²-ab=49…（7分）
由△ABC的面积为$10\sqrt{3}$得，$\frac{1}{2}absinC=10\sqrt{3}$，ab=40…（9分）
所以a²+b²+2ab=（a²+b²-ab）+3ab=169，a+b=13…（11分）
△ABC的周长为a+b+c=20…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．