Question

8．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日-21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数的统计表（单位：枚）

届次	第26届（亚特兰大）	第27届（悉尼）	第28届（雅典）	第29届（北京）	第30届（伦敦）
序号x	1	2	3	4	5
金牌数y	16	28	32	51	38

（1）某同学利用地1、2、3、5四组数据建立金牌数$\stackrel{∧}{y}$关于序号x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）；
（2）试根据上述五组数据建立金牌数$\stackrel{∧}{y}$关于序号x的回归方程，并据求得的回归方程预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数（计算结果四舍五入，保留整数）；
（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：

届次	第26届（亚特兰大）	第27届（悉尼）	第28届（雅典）	第29届（北京）	第30届（伦敦）
序号x	1	2	3	4	5
金牌数y	16	28	32	51	38
预测值$\stackrel{∧}{y}$
y-$\stackrel{∧}{y}$

如果|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4，则称（2）中的方程对该届夏季奥林匹克运动会中国队获得金牌数是“特效”的，否则称为“非特效”的，现从上述五届奥运会中任取三届，记（2）中的回归直线方程为“特效”的届数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-x）（{y}_{i}-y）}{（{x}_{i}-x）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{xy}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据回归方程$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，计算x=6时$\stackrel{∧}{y}$的值；
（2）根据题中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$与$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$的值，得出回归方程$\stackrel{∧}{y}$=6.7x+12.9，并计算x=6时$\stackrel{∧}{y}$的值；
（3）利用（2）的结论填表，得出|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4的数据，求X的分布列与数学期望值．

解答 解：（1）根据金牌数$\stackrel{∧}{y}$关于序号x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=5.0857x+14.514，
所以x=6时，$\stackrel{∧}{y}$=5.0857×6+14.514≈45，
据此回归方程预测第31届夏季奥运会中国队获得的金牌数45；
（2）根据上述五组数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（16+28+32+51+38）=33；
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（1-3）（16-33）+（2-3）（28-33）+（3-3）（32-33）+（4-3）（51-33）+（5-3）（38-33）}{{（1-3）}^{2}{+（2-3）}^{2}{+（3-3）}^{2}{+（4-3）}^{2}{+（5-3）}^{2}}$=6.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=33-6.7×3=12.9．
金牌数$\stackrel{∧}{y}$关于序号x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=6.7x+12.9，
x=6，$\stackrel{∧}{y}$=6.7×6+12.9≈53，
预测第31届夏季奥林匹克运动会中国队获得的金牌数53；
（3）利用（2）的结论填写下表（结算结果四舍五入，保留整数）：

届次	第26届（亚特兰大）	第27届（悉尼）	第28届（雅典）	第29届（北京）	第30届（伦敦）
序号x	1	2	3	4	5
金牌数y	16	28	32	51	38
预测值$\stackrel{∧}{y}$	19	26	33	40	46
y-$\stackrel{∧}{y}$	-3	2	-1	11	-8

满足|y-$\stackrel{∧}{y}$|≤4的数据有3组，即获得金牌数是“特效”的有3组，则X的取值可能为1，2，3；
计算P（X=1）=品数X的可能值为1，2，3．
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的数学期望为EX=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．