【题目】已知(其中
,
是自然对数的底数).
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若不等式对于
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数的减区间为
,增区间为
(2)
【解析】
(1)对函数求导,通过导函数的不等式确定原函数的增减区间,即可得函数的单调区间.
(2)将所要证明的式子变形,建立一个函数,求导后再建立一个新的函数,再求导.需要用到两次求导,通过最值确定正负号,再来确定原函数的单调性,通过单调性即可得到实数的取值范围.
(1)当时,
,所以
,
由得,
,
得,
,
所以函数的减区间为
,增区间为
.
(2)由题意对于
恒成立,
即等价于对于
恒成立,
设,则由
得,
,
当0<x<时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当<x时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以,
令,则由
得
,
0<x<1时,t′(x)>0,t(x)单调递增,1<x时,t′(x)<0,t(x)单调递减,
所以在
时取得极大值.
所以,当,
的最小值
;
当,
的最小值
,得
;
综上,.
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【题目】在直角坐标系中,斜率为k的动直线l过点
,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(1)若直线l与曲线C有两个交点,求这两个交点的中点P的轨迹关于参数k的参数方程;
(2)在条件(1)下,求曲线的长度.
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣a)cosx﹣sinx,g(x)x3
ax2,a∈R
(1)当a=1时,求函数y=f(x)在区间(0,)上零点的个数;
(2)令F(x)=f(x)+g(x),试讨论函数y=F(x)极值点的个数.
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【题目】为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计该市此次检测理科数学的平均成绩;(精确到个位)
(2)研究发现,本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布
(
,
约为
),按以往的统计数据,理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占
.
(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分?(精确到个位)
(ⅱ)从该市高三理科学生中随机抽取人,记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为
,求
的分布列及数学期望
.(说明:
表示
的概率.参考数据:
)
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【题目】已知椭圆与x轴负半轴交于
,离心率
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于
两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于
两点,若
,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.
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【题目】第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法(修订草案)》中,提出推行生活垃圾分类制度,这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系,对某试点社区抽取户居民进行调查,得到如下的
列联表.
分类意识强 | 分类意识弱 | 合计 | |
试点后 | |||
试点前 | |||
合计 |
已知在抽取的户居民中随机抽取
户,抽到分类意识强的概率为
.
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关?说明你的理由;
(2)已知在试点前分类意识强的户居民中,有
户自觉垃圾分类在
年以上,现在从试点前分类意识强的
户居民中,随机选出
户进行自觉垃圾分类年限的调查,记选出自觉垃圾分类年限在
年以上的户数为
,求
分布列及数学期望.
参考公式:,其中
.
下面的临界值表仅供参考
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【题目】詹姆斯·哈登(James Harden)是美国NBA当红球星,自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来,逐渐成长为球队的领袖.2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员).
年份 | 2012-13 | 2013-14 | 2014-15 | 2015-16 | 2016-17 | 2017-18 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
常规赛场均得分y | 25.9 | 25.4 | 27.4 | 29.0 | 29.1 | 30.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,求y关于t的线性回归方程(
,
*);
(Ⅱ)根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分.
(附)对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
(参考数据,计算结果保留小数点后一位)
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(
),将曲线
向左平移2个单位长度得到曲线
.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)设直线与曲线
交于
两点,求
的取值范围.
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【题目】现有两个调查抽样:(1)某班为了了解班级学生在家表现情况决定从10名家长中抽取3名参加座谈会;(2)某研究部门在高考后从2000名学生(其中文科400名,理科1600名)中抽取200名考生作为样本调查数学学科得分情况.
给出三种抽样方法:Ⅰ.简单随机抽样法;Ⅱ.系统抽样法;Ⅲ.分层抽样法.
则问题(1)、(2)选择的抽样方法合理的是( )
A.(1)选Ⅲ,(2)选ⅠB.(1)选Ⅰ,(2)选Ⅲ
C.(1)选Ⅱ,(2)选ⅠD.(1)选Ⅲ,(2)选Ⅱ
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