Question

【题目】已知（其中，是自然对数的底数）.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的减区间为，增区间为（2）

【解析】

（1）对函数求导，通过导函数的不等式确定原函数的增减区间，即可得函数的单调区间．

（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导,通过最值确定正负号，再来确定原函数的单调性，通过单调性即可得到实数的取值范围．

（1）当时，，所以，

由得，，得，，

所以函数的减区间为，增区间为.

（2）由题意对于恒成立，

即等价于对于恒成立，

设，则由得，，

当0<x<时,g′(x)<0,g(x)单调递减，

当<x时,g′(x)>0,g(x)单调递增，

所以，

令，则由得，

0<x<1时,t′(x)>0,t(x)单调递增，1<x时,t′(x)<0,t(x)单调递减，

所以在时取得极大值.

所以，当，的最小值；

当，的最小值，得；

综上，.