Question

5．已知函数f（x）=sinωx•cosωx+cos²（ωx+$\frac{π}{12}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0），若两个不等的实数x₁，x₂∈{x|f（x）=$\frac{1}{4}$}，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求ω的值；
（2）若f（x₀）=$\frac{3}{10}$（$\frac{π}{6}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$），求f（x₀-$\frac{π}{3}$）的值；
（3）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称，当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{11}{24}$π]时不等式f（x）+ag（-x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）进行化简，求出f（x）=$\frac{1}{4}$时对应的x的值，根据|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$列出方程解出ω；
（2）由f（x₀）=$\frac{3}{10}$得出sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，根据x₀的范围得出cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$．利用差角公式求出sin（2x₀-$\frac{π}{3}$），得出f（x₀-$\frac{π}{3}$）的值；
（3）根据对称关系求出g（x）的解析式，求出f（x）和g（-x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的值域，根据f（x）+ag（-x）＞0恒成立得出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2ωx+$\frac{1}{4}$sin2ωx=$\frac{1}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
令f（x）=$\frac{1}{4}$得sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，∴2ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$+2kπ或2ωx+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ．解得x=-$\frac{π}{12ω}$+$\frac{kπ}{ω}$或x=$\frac{π}{4ω}$+$\frac{kπ}{ω}$．
∵f（x₁）=f（x₂）=$\frac{1}{4}$，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4ω}$+$\frac{π}{12ω}$=$\frac{π}{3}$，解得ω=1．
（2）∵f（x₀）=$\frac{1}{2}$sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{10}$，∴sin（2x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$．∵$\frac{π}{6}$≤x₀≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}$≤2x₀+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，∴cos（2x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$．
∴sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=sin[（2x₀+$\frac{π}{3}$）-$\frac{2π}{3}$]=$\frac{3}{5}$×（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
f（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x₀-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3+4\sqrt{3}}{20}$．
（3）设（x，y）是g（x）上任意一点，则（x，y）关于直线x=-$\frac{π}{8}$的对称点为（-$\frac{π}{4}$-x，y），∴y=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{2}$-2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴g（x）=-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．g（-x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{11}{24}$π]，∴f（x）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{4}$]，g（-x）∈[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$]．
∵f（x）+ag（-x）＞0在[$\frac{π}{4}$，$\frac{11}{24}$π]上恒成立，∴a＞$-\frac{f（x）}{g（-x）}$恒成立，而$-\frac{f（x）}{g（-x）}$的最大值为-1，
∴实数a的取值范围时（1，+∞）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值，函数恒成立问题，属于中档题．