Question

20．已知m，n∈R且a＞1，直线l：（m+3n）x+2（m-n）y-8m=0与函数y=log_a（x+b）的图象恒有公共点，则a³-b²的最大值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 求出直线l过定点（2，3），即函数y=log_a（x+b）的图象定点（2，3），得出a³=2+b，求出b的取值范围，再求出a³-b²的最大值．

解答 解：直线l：（m+3n）x+2（m-n）y-8m=0可化为：
m（x+2y-8）+n（3x-2y）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8=0}\\{3x-2y=0}\end{array}\right.$，
解得x=2，y=3，
∴直线l过定点（2，3）；
又直线l与函数y=log_a（x+b）的图象恒有公共点，
即过定点（2，3），
∴log_a（2+b）=3，
∴a³=2+b＞1，即b＞-1；
∴a³-b²=2+b-b²=-${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥$\frac{9}{4}$，
即a³-b²的最大值为$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了直线过定点的应用问题，也考查了对数函数与二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．