Question

12．已知m，n∈N^*，a＞0，a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，求m，n的值．

Answer 1

分析 利用对数运算法则把已知等式化为log_a（m+n）=log_am+log_an=log_amn，由此能求出m，n的值．

解答 解：∵m，n∈N^*，a＞0，a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，
∴log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）
=$lo{g}_{a}m+lo{g}_{a}（\frac{m+1}{m}）+lo{g}_{a}（\frac{m+2}{m+1}）$+…+$lo{g}_{a}（\frac{m+n}{m+n-1}）$
=$lo{g}_{a}（m×\frac{m+1}{m}×\frac{m+2}{m+1}×…×\frac{m+n}{m+n-1}）$
=log_a（m+n），
∴已知等式可以化为log_a（m+n）=log_am+log_an=log_amn，
比较真数，得m+n=mn，即（m-1）（n-1）=1，
∵m，n为正整数，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=1}\\{n-1=1}\end{array}\right.$，解得m=2，n=2．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．