Question

4．已知函数f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}-2m+3}$（m∈Z）为偶数，且在（0，+∞）上是增函数，则f（2）=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 根据题意得-m²-2m+3＞0，求出m的值，再验证满足条件的m值；从而求出f（x）以及f（2）的值．

解答 解：∵函数f（x）是偶函数且在（0，+∞）上是增函数，
∴${（-x）}^{{-m}^{2}-2m+3}$=${x}^{{-m}^{2}-2m+3}$，
∴-m²-2m+3＞0，
即m²+2m-3＜0，
解得-3＜m＜1；
又m∈Z，
∴m=-2，-1，0；
当m=-2时，f（x）=x³是奇函数，不合题意，舍去；
当m=-1时，f（x）=x⁴是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数；
当m=0时，f（x）=x³是奇函数，不合题意，舍去；
∴f（x）=x⁴，f（2）=2⁴=16．
故选：D．

点评 本题考查了利用分类讨论思想求函数的解析式与函数值的应用问题，是基础题目．