Question

13．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{23}{27}$，1]
• B． [-$\frac{23}{27}$，1]
• C． [1，3]
• D． （-∞1]

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，
∴不等式f（x³-x²+a）+f（-x³+x²-a）≥2f（1）等价为2f（x³-x²+a）≥2f（1）
即f（x³-x²+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，
即-1≤x³-x²+a≤1对x∈[0，1]恒成立，
即-1-a≤x³-x²≤1-a对x∈[0，1]恒成立，
设g（x）=x³-x²，则g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
则g（x）在[0，$\frac{2}{3}$）上递减，在（$\frac{2}{3}$，1]上递增，
∵g（0）=g（1）=0，g（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，
∴g（x）∈[-$\frac{4}{27}$，0]，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1-a≤-\frac{4}{27}}\\{1-a≥0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{23}{27}}\\{a≤1}\end{array}\right.$，得-$\frac{23}{27}$≤a≤1，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．