Question

15．已知{a_n}是等比数列，且a_n＞0，a₄+a₃-a₂-a₁=5，则a₅+a₆的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 14
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，由条件求得 x=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=5（ q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+1 ），利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：∵{a_n}是等比数列，且a_n＞0，a₄+a₃-a₂-a₁=5，
设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，则a₄+a₃=xq²，a₅+a₆=xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=5，可得 xq²=5+x，
∴x=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆=xq⁴=$\frac{5-{q}^{2}}{{q}^{2}-1}$=5•$\frac{{q}^{4}-1+1}{{q}^{2}-1}$=5（ q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=5（ q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2 ）≥5 （2+2）=20，
当且仅当q²-1=1时，等号成立，故a₅+a₆的最小值为20，
故选：D．

点评 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．