Question

14．已知函数g（x）=xsinθ-lnx-sinθ在[1，+∞）单调递增，其中θ∈（0，π）
（1）求θ的值；
（2）若$f（x）=g（x）+\frac{2x-1}{x^2}$，当x∈[1，2]时，试比较f（x）与${f^/}（x）+\frac{1}{2}$的大小关系（其中f′（x）是f（x）的导函数），请写出详细的推理过程；
（3）当x≥0时，e^x-x-1≥kg（x+1）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，结合三角函数的性质即可得出sinθ=1；
（2）化简得f（x）-f′（x）=x-lnx+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-2，利用导数分别求出y=x-lnx和y=$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$-2在[1，2]上的最小值，即可得出结论；
（3）令F（x）=e^x-x-1-kg（x+1），则F_min（x）≥0（x≥0），对k进行讨论，判断F（x）的单调性，计算F_min（x）进行检验即可．

解答 解：（1）∵g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴${g^/}（x）=sinθ-\frac{1}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，即$sinθ≥\frac{1}{x}（x∈[1，+∞））$恒成立．
∵当x≥1时，$\frac{1}{x}$≤1，
∴sinθ≥1，又θ∈（0，π），∴0＜sinθ≤1
∴sinθ=1，∴$θ=\frac{π}{2}$．
（2）由（1）可知g（x）=x-lnx-1，
∴$f（x）=g（x）+\frac{2x-1}{x^2}=x-lnx+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-1$，∴${f^/}（x）=1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}$，
∴$f（x）-{f^/}（x）=x-lnx+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-2$，
令h（x）=x-lnx，$H（x）=\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-2$，
∴${h^/}（x）=1-\frac{1}{x}≥0$，${H^/}（x）=\frac{{-3{x^2}-2x+6}}{x^4}$，
∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1，
令φ（x）=-3x²-2x+6，则φ（x）在[1，2]单调递减，
∵φ（1）=1，φ（2）=-10，
∴?x₀∈（1，2），使得H（x）在（1，x₀）单调递增，在（x₀，2）单调递减，
∵H（1）=0，H（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴$H（x）≥H（2）=-\frac{1}{2}$，
∴$f（x）-{f^/}（x）=h（x）+H（x）≥h{（x）_{min}}+H{（x）_{min}}=\frac{1}{2}$，
又两个函数的最小值不同时取得；
∴$f（x）-{f^/}（x）＞\frac{1}{2}$，即：$f（x）＞{f^/}（x）+\frac{1}{2}$．
（3）∵e^x-x-1≥kg（x+1）恒成立，即：e^x+kln（x+1）-（k+1）x-1≥0恒成立，
令F（x）=e^x+kln（x+1）-（k+1）x-1，则${F^/}（x）={e^x}+\frac{k}{x+1}-（k+1）$，
由（1）得：g（x）≥g（1）即x-lnx-1≥0（x≥1），∴x+1≥ln（x+1）+1（x≥0），
即：x≥ln（x+1）（x≥0），∴e^x≥x+1，
∴${F^/}（x）≥（x+1）+\frac{k}{x+1}-（k+1）$
当k=1时，∵x≥0，∴${F^/}（x）≥（x+1）+\frac{k}{x+1}-（k+1）≥x+1+\frac{1}{x+1}-2≥0$，
∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；
当k∈（0，1）时，y=（x+1）+$\frac{k}{x+1}$-（k+1）在[0，+∞）上单调递增，
∴${F^/}（x）≥（x+1）+\frac{k}{x+1}-（k+1）≥1+k-（k+1）=0$，
∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；
当k≤0时，F′（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴${F^/}（x）≥（x+1）+\frac{k}{x+1}-（k+1）$≥F′（0）=1+k-（k+1）=0，
∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0符合题意，
当k＞1时，F″（x）=e^x-$\frac{k}{（x+1）^{2}}$，∴F″（x）在[0，+∞）上单调递增，
又F″（0）=1-k＜0，且x→+∞，F″（x）＞0，
∴F″（x）在（0，+∞）存在唯一零点t₀，
∴F′（x）在（0，t₀）单调递减，在（t₀，+∞）单调递增，
∴当x∈（0，t₀）时，F′（x）＜F′（0）=0，
∴F（x）在（0，t₀）单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，不合题意．
综上：k≤1．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于难题．