Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2，PC＝2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PCD；

(2)求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明平面平面；

（2）作，则平面，从而与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．

详解：(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，

∴PC⊥AC1分

由题意可知，AD∥BC，且AD＝2BC＝2，

△ABC是等腰直角三角形．

∴AC＝BC＝，CD＝2分

∴CD2＋AC2＝AD2，即AC⊥CD，3分

又∵PC∩CD＝C4分

∴AC⊥平面PCD5分

∵AC平面EAC

∴平面EAC⊥平面PCD6分

(2)由(1)得平面EAC⊥平面PCD，

平面EAC∩平面PCD＝EC，

作PH⊥EC，∴PH⊥平面EAC8分

所以PA与平面EAC所成角为∠PAH9分

在Rt△PAC中，PA＝，

在Rt△PHC中，sin∠PCE＝，PH＝PCsin∠PCE＝10分

sin∠PAH＝＝＝，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为12分