【题目】已知数列为公差不为的等差数列, 为前项和, 和的等差中项为,且.令数列的前项和为.
(1)求及;
(2)是否存在正整数成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)当可以使成等比数列.
【解析】试题分析:(1)由于和的等差中项为,可得,又.利用等差数列通项公式将其转化为表示,解方程组求出其值,进而得到,结合通项公式特点可采用裂项相消法求和;
(2)假设存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列,则,当m=2时,化为,解得一组m,n的值满足条件.当m≥3时,由于关于m单调递增,可知,化为5n+27≤0,由于n>m>1,可知上式不成立
试题解析:(Ⅰ)因为为等差数列,设公差为,则由题意得
整理得
所以
由
所以
(Ⅱ)假设存在
由(Ⅰ)知, ,所以
若成等比,则有
,(1)
因为,所以,
因为,当时,带入(1)式,得;
综上,当可以使成等比数列.
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【题目】设函数f(x)=4cos2x﹣4 sinxcosx的最小正周期为π(>0).
(1)求的值;
(2)若f(x)的定义域为[﹣ , ],求f(x)的最大值与最小值及相应的x的值.
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【题目】一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有1,2,3,4,5,6,将这个玩具先后抛掷2次,求:
(1)朝上的一面数相等的概率;
(2)朝上的一面数之和小于5的概率.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1, 分别是棱的中点,过直线的平面分别与棱交于,设, ,给出以下四个命题:
①
②当且仅当时,四边形的面积最小;
③四边形周长, ,则是奇函数;
④四棱锥的体积为常函数;
其中正确命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是7的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是7的概率是多少?
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【题目】某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆,目前我国主流纯电动汽车按续航里程数.(单位:公里)分为3类,即类:,类:, 类:,该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表:
类型 | 类 | 类 | 类 |
已行驶总里程不超过10万公里的车辆数 | 10 | 40 | 30 |
已行驶总里程超过10万公里的车辆数 | 20 | 20 | 20 |
(1)从这140辆汽车中任取一辆,求该车行驶总里程超过10万公里的概率;
(2)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取了14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从类车中抽取了辆车.
①求的值;
②如果从这辆车中随机选取两辆车,求恰有一辆车行驶总里程超过10万公里的概率.
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【题目】若要得到函数y=sin(2x﹣ )的图象,可以把函数y=sin2x的图象( )
A.向右平移 个单位
B.向左平移 个单位
C.向右平移 个单位
D.向左平移 个单位
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【题目】已知椭圆的右焦点为,离心率为,设直线的斜率是,且与椭圆交于, 两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程.
(Ⅱ)若直线在轴上的截距是,求实数的取值范围.
(Ⅲ)以为底作等腰三角形,顶点为,求的面积.
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