Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|+|PM|为定值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率求得a=$\sqrt{2}$c，bc=1，及a²=b²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）利用椭圆的参数方程，设P点坐标，利用两点之间的距离公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值为定值．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由△AOF的面积为S=$\frac{1}{2}$×b×c=$\frac{1}{2}$，则bc=1，
由a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由（1）可知：F（1，0），以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x²+y²=1，
设P（$\sqrt{2}$cosθ，sinθ），且cosθ＞0，则|PF|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{（cosθ-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$-cosθ，
由M是圆x²+y²=1的切点，则OM⊥PM，且丨OM丨=1，
则丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-丨OM{丨}^{2}}$=$\sqrt{2co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ-1}$=$\sqrt{co{s}^{2}θ}$=cosθ，
∴|PF|+|PM|=$\sqrt{2}$-cosθ+cosθ=$\sqrt{2}$，
∴|PF|+|PM|为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的参数方程的应用，考查计算能力，属于中档题．