Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=7，S₄=24，数列{b_n}的前n项和T_n=n²+a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式求出a₁，和d，即可得到数列{a_n}的通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{b_n}的通项公式，
（2）根据裂项求和即可求出数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和B_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得S₄=4a₁+$\frac{4×（4-1）d}{2}$=4a₁+6d=24，a₃=a₁+2d=7
解得d=2，a₁=3
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
∵T_n=n²+a_n=n²+2n+1=（n+1）²，
当n=1时，b₁=4，
当n≥2
∴T_n-1=n²，
∴b_n=T_n-T_n-1=2n+1，
当n=1时，b₁=3≠4，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
当n=1时，$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{20}$
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和B_n=$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{3}{20}$-$\frac{1}{4n+6}$
∴B_n=$\frac{3}{20}$-$\frac{1}{4n+6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的递推公式和裂项求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．