Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2x}{lnx}$．
（1）求曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线方程；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}{x^2}-\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出单调递减区间；
（3）由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）≤a成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2x}{lnx}$，f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
设出切点坐标（a，$\frac{2a}{lna}$），
而曲线y=f（x）与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{2（lna-1）}{{（lna）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=e²，
故切点坐标是：（e²，e²），
故切线方程是：y-e²=$\frac{1}{2}$（x-e²），
即$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$e²=0；
（2）f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）；
（3）因为g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+e）x，
由已知，若存在x₀∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}$x²-$\frac{a+e}{2}$•lnx•f（x）≤a成立，
则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）_min≤a即可，
又g（x）=aelnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+e）x，
则g′（x）=$\frac{（x-a）（x-e）}{x}$，
a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（e）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∵a≤e，
∴-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a≤e，
a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），
∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，
综上所述，a≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$．

点评 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．