Question

14．如图，三棱锥P-ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求$\frac{CE}{CP}$的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠DBA=∠CAB=60°，ACBD为平面四边形，从而DB∥AC．由此能证明AC∥平面PDB．
（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的余弦值．
（Ⅲ）求出$\overrightarrow{AB}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，\sqrt{3}，-1）$，由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}$≠0，求出在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，
AB=2，所以$AD=\sqrt{3}$，
所以∠DBA=60°．
因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，
又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．
因为AC?平面PDB，DB?平面PDB，
所以AC∥平面PDB．
解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，
所以PD⊥DA，PD⊥DB．
如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知可知B（1，0，0），$A（0，\sqrt{3}，0）$，P（0，0，1），$C（2，\sqrt{3}，0）$．
平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{-x+z=0}\end{array}}\right.$，令y=1，则$x=\sqrt{3}，z=\sqrt{3}$，所以平面PAB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×1}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
由图象知二面角P-AB-C是钝二面角，所以二面角P-AB-C的余弦值为$-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$\overrightarrow{AB}=（1，-\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{PC}=（2，\sqrt{3}，-1）$，
因为$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}=（2，\sqrt{3}，-1）•（1，-\sqrt{3}，0）=-1≠0$，
所以PC与AB不垂直，
所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．