Question

7．（x²+x+1）⁵展开式中，x⁵的系数为（　　）

• A． 51
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 先求得[（x²+x）+1）]⁵的展开式的通项公式，再求出（x²+x）^5-r 的展开式的通项公式，可得x⁵的系数．

解答 解：（x²+x+1）⁵=[（x²+x）+1）]⁵的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+x）^5-r，r=0，1，2，3，4，5，
而（x²+x）^5-r 的展开式的通项公式为T_r′+1=${C}_{5-r}^{r′}$•（x²）^5-r-r′•x^r′=${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
0≤r′≤5-r，故有$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{r′=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=1}\end{array}\right.$．
故x⁵的系数为${C}_{5}^{0}•{C}_{5}^{5}+{C}_{5}^{1}•{C}_{4}^{3}+{C}_{5}^{2}•{C}_{3}^{1}$=51．
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．