Question

【题目】已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上一点.若椭圆C的离心率为，且，的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知O是坐标原点，向量，过点（2，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点.若点满足，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意可得方程组联立，解得b，a，进而得出椭圆C的方程.

（2）设直线l的方程为：，设，，联立直线l与椭圆的方程消元，然后韦达定理得，，因为，得，当时，，当时，，，因为，所以，代入化简得，然后变形利用基本不等式可得出答案.

（1）依据题意得，

所以，所以，

因为，故设，代入椭圆方程得，

所以的面积为：.

联立，解得，，

所以椭圆C的方程为：.

（2）由题意可知直线l的斜率显然存在，故设直线l的方程为：，

联立，消去y并整理得，

所以，

设，，

所以，，

因为，

所以，

当时，，

当时，，，

因为，所以，所以，

所以

当且仅当时取等号，且满足，所以

综上.