Question

如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，∠BCC1=

π

3

，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：方法一：（I）如图，由线面角的定义作出直线C₁B与底面ABC所成角，在直角三角形中求出该角的正切值．
（II）由图形及题设可观察出当E为中点时，EA⊥EB₁．下由线面垂直来证线线垂直．
（III）先做出二面角的平面角，再进行证明，然后再求角．
方法二：建立空间坐标系，给出各点的坐标，（I）求出面的法向量与线的方向向量，由公式求线面角．
（II）设出E的坐标，将垂直关系转化为向量的内积为零建立方程求E的坐标．即可确定出E的位置．
（III）求出两面的法向量，再由公式求出二面角的余弦值．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴C₁B在平面ABC上的射影为CB．
∴∠C₁BC为直线C₁B与底面ABC所成角．
∵CC₁=BB₁=2，BC=1，∴tan∠C₁BC=2．
即直线C₁B与底面ABC所成角正切值为2．
（2）当E为中点时，EA⊥EB₁．
∵CE=EC₁=1，BC=B₁C₁=1，∴∠BEC=∠B₁EC₁=45⁰，∴∠BEB₁=90°，
即B₁E⊥BE
又∵AB⊥平面BB₁CC₁，EB₁?平面BB₁C₁C∴AB⊥EB₁，
∵BE∩AB=B，∴EB₁⊥平面ABE，
EA?平面ABE，EA⊥EB₁．
（3）取EB₁的中点G，A₁E的中点F，
则FG∥A₁B₁，且FG=

1

2

A₁B₁，
∵A₁B₁⊥EB₁，∴FG⊥EB₁，
连接A₁B，AB₁，设A₁B∩AB₁=O，
连接OF，OG，FG，
则OG∥AE，且OG=

1

2

AE，∵AE⊥EB₁，∴OG⊥EB₁．
∴∠OGF为二面角A-EB₁-A₁的平面角．
∵OG=

1

2

AE=1，且FG=

1

2

A₁B₁=

2

2

，OF=

1

2

BE=

2

2

，∠OGF=45°
∴二面角A-EB₁-A₁的大小为45°，
另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C₁（1，2，0），B₁（0，2，0）．

（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC的法向量

BB 1

=（0，2，0）．，
又

BC 1

=（1，2，0）
设C₁B与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

BB 1

，

BC 1

＞|=

2 5

5

∴tanθ=2
即直线C₁B与底面ABC所成角正切值为2．
（2）设E（1，y，0），则

EB 1

=（-1，2-y，0），

EA

=（-1，y，z）
∵AE⊥EB₁，∴AE•EB₁=1-y（2-y）=0
∴y=1，即E（1，1，0），∴E为CC₁的中点．
（3）∵A（0，0，2），则

AE

=（1，1，-

2

），

B 1E

=（1，-1，0），
设平面AEB₁的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
则

n • AE =0 n • B 1E =0

∴

X 1+Y 1- 2 Z 1=0 X 1-Y 1=0

，取

n

=（1，1，

2

）
∵

B 1E

=（1，-1，0），
，

BE

•

B 1E

=1-1=0∴BE⊥B₁E，
又BE⊥A₁B₁，∴BE⊥平面A₁B₁E，∴平面A₁B₁E的法向量

BE

=（1，1，0），∴cos＜

n

，

BE

＞=

2

2

∴二面角A-EB₁-A₁的大小为45°．

点评：考查线面角的求法，线线垂直的证明以及二面角的求法，方法二中用空间向量求线面角，证线线垂直，求二面角，方法新颖．