Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=

2x

1+x

（x＞0），数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=g（a_n）（n∈N）．
（Ⅰ）当x＞-1时，比较x与f（x）的大小；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：a₁+a₂+…+a_n＞ln

2n+1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）构造函数F（x）=x-ln（1+x）利用导数求其最小值，从而判断得到x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）通过关系式a_n+1=g（a_n）变形得{

1

an

-1}是一等比数列，并求其通项，从而计算出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中x≥ln（1+x）知a_n＞ln（a_n+1），而ln（a_n+1）=ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1），然后利用累加法化简即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）当x＞-1时，设F（x）=x-ln（1+x），∴F'（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，，令F'（x）=0 有x=0，
当x∈（-1，0），F'（x）＜0，F（x）单调递减；当x∈（0，+∞），F'（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）的最小值为F（0）=0∴x≥ln（1+x）；
（Ⅱ）∵an+1=

2an

1+an

，∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

+1)，∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
∴{

1

an

-1}为首项是1、公比为

1

2

的等比数列．∴

1

an

-1=(

1

1 2

-1)(

1

2

)  n-1=(

1

2

)n-1，∴an=

2n-1

2n-1+1

；
（Ⅲ）∵a_n＞0，由（Ⅰ）知an＞ln(an+1)=ln(

2n-1

2n-1+1

+1)=ln(2n+1)-ln(2n-1+1)，
∴a₁+a₂+…+a_n＞[ln（2¹+1）-ln（2⁰+1）+…+ln（2ⁿ+1）-ln（2^n-1+1）]
=[ln(2n+1)-ln2]=ln

2n+1

2

，即证．

点评：此题考查函数的导数应用，及数列求和中裂项相消法的运用．