Question

1．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0）．
（1）设t为参数，若x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求实数p的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，可得y=x-2=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，即可得出直线l的参数方程．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），即可化为直角坐标方程．把直线l的参数方程代入可得：t²-（8+2p）$\sqrt{2}$t+8p+32=0．不妨设|MP|=t₁，|MQ|=t₂．|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用|PQ|²=|MP|•|MQ|，即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x-y-2=0．
∵x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，∴y=x-2=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y²=2px．
把直线l的参数方程代入可得：t²-（8+2p）$\sqrt{2}$t+8p+32=0．
∴t₁+t₂=（8+2p）$\sqrt{2}$，t₁t₂=8p+32．
不妨设|MP|=t₁，|MQ|=t₂．
|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2（8+2p）^{2}-4（8p+32）}$=$\sqrt{8{p}^{2}+32p}$．
∵|PQ|²=|MP|•|MQ|，
∴8p²+32p=8p+32，
化为：p²+3p-4=0，
解得p=1．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．