Question

【题目】已知函数，，为的导函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，当时，求证：有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；

【解析】

（1）结合函数的导数与单调性的关系，对进行分类讨论，分为，，，几种情形，即可求出函数的单调性；

（2）结合（1）中的结果可得的单调性，易得1为函数一个零点，结合函数的单调性及函数的零点判定定理可求结果.

（1）

①当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，得，，

i）当时，，所以在上单调递增；

ii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；

②i）当时，在上单调递增；

ii）当时，在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，在和单调递增，在单调递减；

（2）

因为，所以是函数的一个零点，

由（1）知时，在单调递减，所以，

又因为，所以，

所以在上恰有一个零点，

所以当时有两个零点.