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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0).
(Ⅰ)(i)若b=﹣2,且f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;
(ii)若b=﹣1,c=1,当x∈[0,1]时,|f(x)|的最大值为1,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有两个小于1的不等正根,求a的最小正整数值.

(Ⅰ)(i)[1,+∞);(ii)(0,1];(Ⅱ)5

解析试题分析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,则f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线.若f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,则≤1,解得a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞);(ii)若b=﹣1,c=1,则f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线,若当x∈[0,1]时,|f(x)|的最大值为1,则解得0<a<,或≤a≤1,所以实数a的取值范围为(0,1];(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有两个小于1的不等正根,则
解得a>4,故a的最小正整数值为5.
试题解析:(Ⅰ)(i)若b=﹣2,
则f(x)=ax2﹣2x+c(a>0)的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线.
若f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,则≤1,解得a≥1,
即实数a的取值范围为[1,+∞)
(ii)若b=﹣1,c=1,
则f(x)=ax2﹣x+1(a>0)的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线.
若当x∈[0,1]时,|f(x)|的最大值为1,

解得0<a<,或≤a≤1
综上所述:0<a≤1
即实数a的取值范围为(0,1]
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有两个小于1的不等正根,

由b2>4ac>4a(1﹣a﹣b)得:
b2+4ab+4a2=(b+2a)2>4a,
即b+2a>2
即b>2﹣2a,…①
由b2>4ac≥4a得:
b<﹣2…②
由①②得:
2﹣2a<﹣2
解得a>4,
故a的最小正整数值为5.
考点:1.二次函数的图象与性质;2.不等式的性质

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