Question

10．已知函数f（x）=2sin（2x），将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，则b-a的最小值为（　　）

• A． $\frac{42π}{3}$
• B． $\frac{40π}{3}$
• C． $\frac{43π}{3}$
• D． $\frac{45π}{3}$

Answer 1

分析 根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的定义，再根据函数的零点的定义求得函数g（x）的零点，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（2x），将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，
得到函数y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$ ）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的图象．
令g（x）=0，求得 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，
即x=kπ+$\frac{5π}{12}$或 x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
根据y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，不妨假设a=$\frac{5π}{12}$（此时，k=0），
则此时b的最小值为14π+$\frac{3π}{4}$（此时，k=14），
b-a=（14π+$\frac{3π}{4}$）-$\frac{5π}{12}$=$\frac{43π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的零点的定义，属于中档题．