Question

20．设实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{y≤2x+2}\\{x+y-2≥0}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，则$\frac{x+y-1}{x+3}$的取值范围是$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质，转化为两点间的斜率，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，$\frac{x+y-1}{x+3}$=$\frac{x+3+y-4}{x+3}$=1+$\frac{y-4}{x+3}$，
则$\frac{y-4}{x+3}$的几何意义是区域内的点到定点D（-3，4）的斜率，
由图象得AD的斜率最大，CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（2，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（2，0），
则AD的斜率k=$\frac{6-4}{2+3}$=$\frac{2}{5}$，CD的斜率k=$\frac{0-4}{2+3}$=$-\frac{4}{5}$，
即$-\frac{4}{5}$≤$\frac{y-4}{x+3}$≤$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$≤1+$\frac{y-4}{x+3}$≤$\frac{7}{5}$，
即$\frac{x+y-1}{x+3}$的取值范围是$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$，
故答案为：$[\frac{1}{5}，\frac{7}{5}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质，转化为直线斜率是解决本题的关键．注意利用数形结合的数学思想进行求解．