Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点 M，N．
（1）求椭圆C的方程，并求其焦点坐标；
（2）当△AMN的面积为$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，利用根与系数的关系可得|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，点A到直线MN的距离d．利用△AMN的面积=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$=$\frac{1}{2}d$|MN|，解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=2，c=b=$\sqrt{2}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，其焦点坐标为：$（±\sqrt{2}，0）$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{k}^{2}-4）}{1+2{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$．
点A到直线MN的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴△AMN的面积=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$=$\frac{1}{2}d$|MN|=$\frac{\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
化为：20k⁴-7k²-13=0，
解得k²=1，解得k=±1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．